오디오 필터(22)- 바이쿼드 필터의 주파수 응답

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바이쿼드 필터의 주파수 응답

지난 글에서 바이쿼드 필터에 대해 설명한적이 있습니다. 지난 글에서는 바이쿼드 필터의 주파수 특성을 GNU Octave의 함수를 이용해서 검토했습니다. 이번에는 FFT나 Octave 함수를 사용하지 않고 바이쿼드 필터의 주파수 특성을 구하는 내용을 다루도록 하겠습니다.

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바이쿼드 필터의 전달함수

바이쿼드 필터의 전달함수는 다음과 같이 정리됩니다.

$$H(z)=\frac{b_0+b_1z^{-1}+b_2z^{-2}}{1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}}$$

z를 $j\omega$로 치환하면 디지털 필터 전달함수를 복소수 공간의 전달함수 로 변환이 됩니다.

$$H(e^{j\omega})=\frac{b_0+b_1e^{-j\omega}+b_2e^{-j2\omega}}{1+a_1e^{-j\omega}+a_2e^{-j2\omega}}$$

그러면 복소 공간에서 전달함수 절대값을 구하는 것는 매우 간단한 내용이 됩니다.

$$\left |H(e^{j\omega})  \right |^2=Re^2(H(e^{j\omega}))+Im^2(H(e^{j\omega}))$$

이를 이용해서 $H(e^{j\omega})$를 전개하면 다음과 같이 전달함수의 진폭응답을 구할 수 있습니다. 이때 오일러 정리를 이용합니다. 아래 식을 잘보면 분자와 분모가 사실 같은 형태입니다. $a_0=1$인 조건이기 때문에 $a_0$가 보이지 않을 뿐입니다. 

$$\left |H(e^{j\omega})  \right |^2=\frac{b_0^2+b_1^2+b_2^2+2b_1(b_0+b_2)cos(\omega)+2b_0b_2cos(2\omega)}{1+a_1^2+a_2^2+2a_1(1+a_2)cos(\omega)+2a_2cos(2\omega)}$$

만약 위상 특성을 알고 싶다면 다음과 같이 구하면 됩니다.

$$\angle H(e^{j\omega}) = atan(\frac{Re(H(e^{j\omega}))}{Im(H(e^{j\omega}))})$$ 

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