오디오 신호(20)-옥타브 주파수

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옥타브 주파수 구하기

저번 글에서 옥타브를 정의하는 공식을 알아봤습니다. 이번에는 오디오 주파수 대역에서 옥타브 주파수를 구하는 내용을 알아보겠습니다.

이글의 목적은 다른 곳에서 설명한 피킹 필터를 이용한 이퀄라이저의 주파수를 결정하는 기술적 기준을 마련하기 위해 작성했습니다. 

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1 oct의 주파수

다른 글에서 말한 것과 같이 1 oct는 특정 주파수에서 2배가 되는 다른 주파수 사이의 관계라고 설명한 적 있습니다. 그러면 가청 주파수 대역은 1 oct(1옥타브)로 보면 어떤 특성이 있을까요?

최저 주파수를 20Hz로 하고 계산하면 첫 번째 옥타브 주파수는 다음과 같습니다.

$$f_2 = f_1 \cdot 2^{oct}$$

$$f_2 = 20 \cdot 2^{1oct} = 20 \cdot 2 = 40Hz$$

그리고 다음 옥타브의 주파수는 40Hz에 공식을 다시 대입해서 구하면 됩니다.

$$f_3 = f_2 \cdot 2^{1oct} = 40 \cdot 2 = 80Hz$$

위의 방법으로 계속 계산하면 다음과 같이 가청 주파수의 맨 끝에 도달할 수 있습니다. 

$$f_{11} = f_{10} \cdot 2^{1oct} = 10240 \cdot 2 = 20480Hz$$

그러므로 1oct로 가정 주파수를 나누면 11개의 주파수 10개의 구간으로 구해집니다. 여기서 한 개의 1 oct 구간은 $[f_n,f_{n+1}]$에 해당합니다.

이제 옥타브 구간을 대표하는 중심 주파수를 구해보겠습니다. 이는 1oct를 대표해서 불러주는 주파수입니다.

$$f_{c,n} = \sqrt{f_n \cdot f_{n+1}}$$

그러면 $f_{c,1} \simeq  28.3$,..., $f_{c,10} \simeq  14482$ 로 구할 수 있습니다. 이 중심 주파수는 1 oct로 구현하는 그래픽 이퀄라이저의 주파수로 사용하면 됩니다.

이때 이퀄라이저의 피킹 필터는 다음 공식에 의해 Q를 구하면 됩니다.

$$Q=\frac{\sqrt{2^{oct}}}{2^{oct}-1}=\frac{\sqrt{2}}{2-1}=1.41$$

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1/3 oct의 주파수

이번엔 1/3 oct=0.33 oct로 가청 주파수 대역을 나눠보겠습니다. 이때 가청 주파수의 낮은 신호를 16Hz 또는 20Hz로 합니다. 이상하죠 16Hz는 가청주파수가 아닌데요 이에 대해서도 알아보겠습니다.

낮은 주파수를 16Hz로 설정하고 1/3 oct 구하기

위와 같은 방법으로 하면 $f_{1} =  16.0$,..., $f_{32}  \simeq 20642.5$Hz로 32개의 주파수로 31개의 1/3 oct 구간을 구할 수 있습니다. 이를 31 band라고 합니다. 그러면 1/3 oct의 중심 주파수 $f_{c,1} \simeq  18$,..., $f_{c,31} \simeq  18k$Hz로 구해집니다. 

낮은 주파수를 20Hz로 설정하고 1/3 oct 구하기

낮은 주파수 조건과 같은 방법으로 1/3 oct의 구간 주파수를 구하면  $f_{1} =  20.0$,..., $f_{31}  \simeq 20480$Hz로 31개의 주파수와 30개의 구간을 구할 수 있습니다. 이를 30 band라고 합니다. 

 

어느 것을 적용해서 청취 대역을 분할하던 큰 문제가 없지만 1/3 oct-31 band를 주로 사용합니다. 31 band는 30 band보다 낮은 주파수를 사용해서 저역 부분의 이퀄라이저 중심 주파수가 조금 더 세밀합니다. 그러니 좀다 좋은 음향 특성을 위한 조정에 유리합니다. 

 

 

중심 주파수도 1 oct와 같은 방법으로 구하며 이 주파수가 그래픽 이퀄라이저를 구성하는 피킹 필터의 중심 주파수가 되고 Q는 다음 식으로 구합니다.

$$Q=\frac{\sqrt{2^{1/3}}}{2^{1/3}-1}=4,32$$

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옥타브 주파수를 구하는 일반식

잘 사용하지 않지만, 옥타브를 구하는 일반화 공식은 다음과 같습니다. 

$$f_n = f_1\cdot 2^{(n-1)\cdot oct}$$

중심 주파수도 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$$f_{c,n} = f_1\cdot 2^{(n\cdot oct)}\cdot \sqrt{2^{-oct}}$$

이 공식을 잘 사용하지 않는 이유는 옥타브 주파수를 알고자 할 때 특정 주파수만 찾아서 사용하지 않기 때문입니다. 대부분은 오디오 대역을 대상으로 모든 옥타브 주파수를 찾아서 사용하기 때문입니다.

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그밖에 밴드 크기와 옥타브

그럼 일반적인 사용자가 사용하는 오디오 밴드의 크기와 옥타브 관계를 알아보겠습니다.

 

3 band는 3.33 oct에 해당합니다. 그러니 3개의 필터로 그래픽 이퀄라이저를 형성하면 하나의 필터가 3.33 oct의 큰 영역의 신호를 제어하기 때문에 좋은 결과를 얻기 어렵습니다.

5 band는 2 oct에 해당합니다. 역시 하나의 필터가 영향을 미치는 범위가 크기 때문에 좋지는 않습니다. 예를 2 oct이면 일반적인 사람들의 노래를 부르는 영역에 해당하는데 이 부분을 한꺼번에 음향적인 특성을 조정하는 것입니다. 

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참조

http://www.sengpielaudio.com/calculator-bandwidth.htm 

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