오디오 신호(18)-옥타브(Octave), 데케이드(Decade), 필터 기울기(slope)

 

로그 스케일에 대해 아래 글에서 설명드린 적이 있습니다. 

https://medialink.tistory.com/manage/newpost/67?type=post&returnURL=https%3A%2F%2Fmedialink.tistory.com%2Fmanage%2Fposts%3Fcategory%3D959576 

 

옥타브와 데케이드는 두 주파 수사의 관계를 표시하는 방법으로 로그 스케일(log scale)로 데이터를 표시할 때 주로 사용합니다. 이글에서는 옥타브와 데케이드를 구하는 방법과 두 사이의 관계를 알아보겠습니다.

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옥타브(Octave)

옥타브는 기준 신호 $f_{1}$과 $f_{2}$ 사이의 관계를 지수적인 관계로 표시합니다. 사실은 두 신호의 변화가 몇 배 변화했는지를 지수로 변경해서 보는 것입니다. 

만약 $f_{1}=2\cdot f_{2}$이면 두 주파수의 관계가 두배라고 합니다. 그런데 옥타브는 두배 관계인 경우를 다루는 방식입니다. 

옥타브로 수식으로 표시하면 아래와 같습니다. 예를 들어 일반적으로 피아노의 라(La) 음은 440Hz입니다. 그러니 이보다 1 oct위의 라음은 $440\cdot 2 = 880Hz$가 됩니다. 

$$2^{n}=\frac{f_{2}}{f_{1}}$$

이를 옥타브 n을 구하면 다음과 같습니다.

$$n=\frac{log(\frac{f_{2}}{f_{1}})}{log(2)}$$

옥타브가 지수적인 관계에서 두 신호의 중심 주파수 $f_{c}$는 다음과 같이 정의됩니다.

$$f_{c}=\sqrt{f_{1}\cdot f_{2}}$$

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청취 대역과 옥타브의 관계

청취 대역은 20Hz~20kHz로 알려져 있습니다. 이를 옥타브 n으로 계산하면 다음과 같이 10 oct가 됩니다.

$$n=\frac{log(\frac{20000}{20})}{log(2)}\cong 10oct$$

그러므로 1ct로 청취 대역을 구분하면 10 oct가 됩니다. 그런데 10 oct는 앞서 설명한 음성 특성의 내용과 같이 주파수별 특성을 표시하는 대역으로 사용됩니다. 즉 대략적인 특성 조정의 기준을 제공해 줍니다.

https://medialink.tistory.com/54?category=959576 

그런데 오디오 장치에서는 1/3 oct로 제어하는 경우가 많습니다. 이는 청취 대역을 약 30개로 분할해 줍니다. 1/3 oct는 청취적으로 구분이 가능한 최소 주파수 영역으로 세밀한 조정의 기준이 됩니다.

그러므로 대충의 주파수 조정으로 음향을 보정하고 싶으면 이퀄라이저로 1 oct = 10 band를 사용하고, 세밀한 조정을 하고 싶다면 이퀄라이저로 1/3 oct = 30 band를 사용합니다. 

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데케이드

데케이드 d는 주파수의 관계가 열 배인 경우를 다루는 방법으로 주로 통신에서 사용됩니다. 

$$10^{d}=\frac{f_{2}}{f_{1}}$$

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옥타브와 데케이드

옥타브(n)와 데케이드(d)는 다음과 같은 식으로 서로 변환이 가능합니다.

$$n\cdot log(2) = log\left (\frac{f_{2}}{f_{1}}  \right )=d$$

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필터의 기울기의 표시

현실적인 필터는 필터 주파수를 기준으로 필터가 주파수에 따라 기울어지는 현상이 포함됩니다. 이를 필터의 기울기 특성이라고 하고 dB/oct 또는 dB/decade로 표시합니다.

필터의 기울기는 필터의 종류에 따라 부호를 다르게 사용합니다. 예를 들어 LPF의 필터 기울기는 음수입니다. 반대로 HPF 필터의 기울기는 양수입니다. 그런데 이런걸 굳이 안따지고 그냥 양수의 기울기만 호칭해서 사용하곤 합니다. 

필터의 기울기는 필터의 차수 N에 따라서 $6\cdot N(dB/oct)$를 가집니다. 즉 필터의 차수가 높을수록 기울기는 급격해집니다. 

그런데 필터의 기울기를 통신장치에 활용하는 경우 dB/decade로 표시하기도 합니다. 두 기울기 간에는 다음과 같이 변환이 가능합니다.

$$6dB/oct=20dB/decade$$

즉 1dB/decade=3.32dB/oct로 근사화됩니다.

이를 기반으로 하면  $6\cdot N(dB/oct)= 20\cdot N(dB/decasde)$가 됩니다.

 

만약 필터의 통과대역 각주파수 $\omega_p$와 차단 대역 각주파수 $\omega_s$와 두 각주파수 사이의 이득 변화 A가 데시벨로 표시되는 경우 필터의 기울기는 옥타브를 구하는 공식을 이용해서 다음과 같이 구해집니다.

$$Slope= \left | \frac{Alog(2)}{log\frac{\omega_p}{\omega_s}} \right |$$ 

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