PCM 과정과 양자화 오차

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아날로그 신호를 디지털 신호로 변환

신호처리는 디지털 신호를 다룹니다. 그러므로 오디오의 아날로그 신호를 디지털 신호를 변환해 줘야 합니다. 이 과정을 진행하는 부품이 ADC(analog-to-digital converter)입니다. ADC에서 진행되는 과정을 한마디로 샘플링이라고 대표해서 부릅니다.

ADC는 신호처리 과정에 많은 부분에 영향을 주는 주요 인자를 사용하게 됩니다. 이 글에서는 ADC에서 이루어지는 과정과 이 과정에서 발생하는 기술적인 내용을 다루도록 하겠습니다. 

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디지털 오디오 신호의 생성

아날로그 오디오 신호는 일반적으로 표본화를 거쳐서 디지털 신호로 변환된다고 합니다. 그러나 자세히 보면 PAM(pulse amplitude modulation), PCM(pulse code modulation) 과정 등을 거쳐서 디지털 오디오 신호로 변환됩니다.

 

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표본화(Sampling)

오디오 신호는 다음과 같이 시간에 따라 변화하는 아날로그 신호입니다.

이를 다음과 같이 샘플링 시간 $t_{s}$에만 신호를 수집합니다 이를 표본화라고 합니다. 이 과정을 PAM이라고 합니다.

이때 $t_{s}$의 역수가 샘플링 주파수 또는 샘플링률(sampling rate)이라고 합니다.

예를 들어 CD의 샘플링률을 44.1kHz입니다. 이는 사람의 청취 대역 20kHz를 표본화에 적합한 나이키스트 조건을 고려하여 설정한 값입니다. 즉 샘플링 주파수로 표본화 또는 아날로그 신호로 복구 가능한 주파수는 샘플링 주파수의 절반에 해당합니다. 

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양자화와 양자화 오차

PAM으로 얻어진 신호는 실수 값입니다. 이를 ADC, DAC에서 I2S로 전송을 위해서는 정수로 변환해야 합니다. 그래서 신호의 높이를 특성 단위로 나누고 PAM 신호를 이 높이의 한 부분으로 대표해서 표시합니다. 이를 양자화라고 합니다. 

양자화에서 특정 단위로 나누는 내용을 샘플 비트(sample bit)라고 하고 CD의 경우 16bit입니다. 

 

이때 PAM의 신호가 양자화되면서 오차가 발생합니다. 이 오차는 시간에 흐름에 따라 변하며 백색 잡음과 같습니다. 양자화 오차은 PAM에서 PCM으로 변환하는 과정에서 원래 신호의 일부를 버리는 작업에서 생기며 이렇게 생긴 오차가 잡음과 같은 내용이라서 양자화 잡음이라고도 합니다. 

이를 고려하면 잡음이 발생하는 크기를 계산할 수 있으며, 이를 다이내믹 레인지(dynamic range, DR)와 관련하면 다음과 같이 정리됩니다. 여기서 m은 샘플 비트 크기입니다. 예를 들어 CD는 16bit의 샘플 비트를 사용하므로 $DR=16\cdot 6=96dB$가 됩니다.

$$DR=6.02m+1.76\cong 6m(dB)$$

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청취 특성을 고려한 PCM

사람의 청취 주파수는 최대 20kHz입니다. 여기에 나이퀴스트 조건을 고려하면 샘플링률은 최소 40kHz면 됩니다. 그런데 좀 저렴하게 신호처리를 하고 싶고 대상이 음성이라면 청취 주파수를 8kHz 또는 3kHz로 줄여서 사용합니다. 물론 음악에는 부적합합니다.

샘플 비트는 사람의 청취 다이내믹 레인지를 고려하면 됩니다. 참고로 다이내믹 레인지는 아주 작은 소리에서 아주 큰 소리까지 표현 가능한 범위를 의미하거나, 청취 가능한 범위를 의미합니다. 사람의 청취 다이내믹 레인지는 120dB입니다. 그러므로 양자화 과정에서 이를 고려하면 됩니다.

그런데 앞서 설명한 것과 같이 CD의 다이내믹 레인지는 16bit로 청취 다이내믹 레인지를 만족하지 못합니다.

그러므로 최소 20bit로 $20\cdot 6=120dB$가 되어야 합니다. 최근에 거의 모든 고급 오디오 장비는 24bit를 사용합니다. 

여기서도 물론 경제적인 장비를 구현하고 싶다면 비트를 줄여서 작은 다이내믹 레인지로 구현해도 됩니다. 그러면 음질이 나빠지는 것은 감수해야 합니다.  

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